Regressão Múltipla
Exemplo em SAS (Todo o que está escrito em fonte azul é entrada os saída do SAS):
data multipl;Estamos testando a influencia das variáveis: Quilocalorias ingeridas por dia (Kcal_d), dos Quilômetros que as pessoas correm por semana (Corr_s) e das Xícaras de Chá do Sol (Cha_Sol), que é recomendado para emagrecer, anticancerígeno, antienvelhecimento e anti-infarto. As 3 variáveis anteriores as relacionaremos com a variável de resposta: Índice de Massa Corporal (IMC)?
Veja o comando SAS para testar esse modelo:
Veja o comando SAS para testar esse modelo:
model IMC = Kcal_d Corr_s Cha_Sol;
O Modelo Estatístico é:
Assim voces o acharao na literatura (Douglas Montgomery Introduction to Linear Regression Analysis)
Assim voces o acharao na literatura (Douglas Montgomery Introduction to Linear Regression Analysis)
IMC = Bo + B1 * Kcal + B2 * Corr_s + B3 * Cha_Sol + Erro do Modelo
IMC é a:
Kcal_d Corr_s Cha_Sol:
variável dependente (efeito)
Kcal_d Corr_s Cha_Sol:
são as variáveis independentes (causa)
input IMC Kcal_d Corr_s Cha_Sol;
cards;
28 2500 1 20
19 2100 34 19
22 2300 12 18
29 2600 2 22
20 2200 17 25
18 2100 32 25
29 2780 0.5 28
31 2890 1 27
20 2000 10 25
;
proc glm;
model IMC = Kcal_d Corr_s Cha_Sol;
run;
Resultados:
The GLM Procedure
| Number of Observations Read | 9 |
|---|---|
| Number of Observations Used | 9 |
The GLM Procedure
Dependent Variable: IMC
| Source | DF | Sum of Squares | Mean Square | F Value | Pr > F |
|---|---|---|---|---|---|
| Model | 3 | 205.6292690 | 68.5430897 | 53.80 | 0.0003 |
| Error | 5 | 6.3707310 | 1.2741462 | ||
| Corrected Total | 8 | 212.0000000 |
| R-Square | Coeff Var | Root MSE | IMC Mean |
|---|---|---|---|
| 0.969949 | 4.703254 | 1.128781 | 24.00000 |
| Source | DF | Type I SS | Mean Square | F Value | Pr > F |
|---|---|---|---|---|---|
| Kcal_d | 1 | 193.9127046 | 193.9127046 | 152.19 | <.0001 |
| Corr_s | 1 | 10.0492627 | 10.0492627 | 7.89 | 0.0376 |
| Cha_Sol | 1 | 1.6673017 | 1.6673017 | 1.31 | 0.3044 |
| Source | DF | Type III SS | Mean Square | F Value | Pr > F |
|---|---|---|---|---|---|
| Kcal_d | 1 | 45.87594354 | 45.87594354 | 36.01 | 0.0018 |
| Corr_s | 1 | 9.98951966 | 9.98951966 | 7.84 | 0.0380 |
| Cha_Sol | 1 | 1.66730168 | 1.66730168 | 1.31 | 0.3044 |
| Parameter | Estimate | Standard Error | t Value | Pr > |t| |
|---|---|---|---|---|
| Intercept | 0.5097631067 | 5.26523606 | 0.10 | 0.9266 |
| Kcal_d | 0.0118336798 | 0.00197214 | 6.00 | 0.0018 |
| Corr_s | -.1303517978 | 0.04655372 | -2.80 | 0.0380 |
| Cha_Sol | -.1358059847 | 0.11871933 | -1.14 | 0.3044 |
| The SAS System |
The GLM Procedure
Dependent Variable: IMC
Aqui podemos ver que se rejeita a Hipótese:
Rejeita-se Ho: B1 = B2 = B3 = 0 (ou seja que não ha nenhuma relação de causa --> efeito) com (1-0,0003) * 100 = 99,97 % de confiança rejeita-se Ho. Então existe alguma relação causas efeito.
Quando a confiança para se rejeitar Ho for menor do que 95%, ou a margem de erro menor do que 0,05 = 5%, então nenhuma variável independente esta influenciado o IMC (variável dependente). Não foi esse o caso deste exemplo.
Sempre na Regressão Múltipla Temos que utilizar Soma de Quadrados Tipo III. Também quando tivermos parcela perdida e ANOVA e MANOVA, temos que utilizar Soma de Quadrados Tipo III.
Podemos ver que a estimativa dos parâmetros
Bo, B1, B2 e B3 foi:
| Parameter | Estimate | Standard Error | t Value | Pr > |t| |
|---|---|---|---|---|
| Intercept | 0.5097631067 | 5.26523606 | 0.10 | 0.9266 |
| Kcal_d | 0.0118336798 | 0.00197214 | 6.00 | 0.0018 |
| Corr_s | -.1303517978 | 0.04655372 | -2.80 | 0.0380 |
| Cha_Sol | -.1358059847 | 0.11871933 | -1.14 | 0.3044 |
Podemos observar que:
B1 > 0
B2 <0
B3 <0
assim as variáveis independentes (causa) ainda sem pensar em significância estatistifica atuaram em relação a IMC da seguinte forma:
B1 positivamente ou seja quando aumentam as quilocalorias por dia aumenta o IMC,
B2 negativamente ou seja quando aumenta corrida diminuí o IMC
B3 negativamente ou seja quando aumentam as xícaras de chá por semana diminui o IMC
Agora temos que observar para quais variáveis independentes o coeficiente foi estatisticamente diferente de O (zero), para isso temos que observar a margem de erro do teste de cada coeficiente:
Assim:
O Intersepto foi igual a zero (Bo = Intercept), o que tem muito poco valor pratico, seria o valor do IMC se todas as variáveis independentes fossem zeradas, logicamente se a ingestão diária de calorias fosse zero o individuo estaria morto.
O coeficiente da variável independente Quilocalorias Ingeridas por Dia (B1 = Kcal_d) foi diferente de zero, assim com 99,57 % de confiança podemos afirmar que a quantidade de quilocalorias ingeridas por dia impacta positivamente no IMC.
O coeficiente a variável independente Quilômetros que as pessoas correm por semana (B2 = Corr_s) não foi diferente de zero se utilizarmos o critério de 95% de confiança (ou 5% de margem de erro), porem esta muito perto da significância, rejeitaríamos a hipótese de ser igual a zero com 94% de confiança. Assim poderíamos entrar na discussão da suficiência do tamanho amostral, foi igual a 9 pontos amostrais. Esse tamanho amostral é insuficiente para todos os critérios que o professor conhece:
- Teorema do Limite Central da Estatística ( o mais importante da Estatística) requer no minimo 30 pontos amostrais;
- Recomendação da Estatística Experimental, minimo 10 graus de liberdade do resíduo e 20 do total ajustado, assim deveríamos ter no minimo 21 pontos amostrais,
- Recomendação das normas ISO, minimo 9 graus de liberdade do resíduo, deveríamos ter 13 pontos amostrais.
Vemos que não conseguimos satisfazer nenhum dos 3 critérios, assim uma significância de 94% é uma evidencia forte de que a variável Quilômetros que as pessoas correm por semana (Corr_s) tem influencia significativa no IMC, uma relação inversamente proporcional, assim quando aumenta a corrida diminui o IMC. Seguramente se aumentarmos o tamanho amostral chegaremos a uma significância maior do que 95%.
O coeficiente a variável independente Xícaras de Chá do Sol por semana ( B3 = Cha_Sol) foi não significativa (p < 0,4339), assim o Chá do Sol não influenciou no IMC ou não tivemos argumentos estatisticamente significativos para rejeitar Ho: B3 = 0.
Temos um problema de Tamanho Amostral, isso impacta na significância da Variável Independente Corrida por Semana.
Assim utilizamos o Algoritmo de Cochran, para pesquisarmos o Tamanho Ótimo da Amostra.
Observamos que para uma população de tamanho N=25, o Tamanho Ótimo da Amostra é: 23 (por que a variação é muito grande, CV%= 100,3 %).
Assim deveríamos aumentar o tamanho da amostra para chegarmos em n = 23, deveríamos tomar dados de 23 - 8 = 15 pessoas mais.
Assim muito provavelmente a variável Corrida por Semana passara a ser estatisticamente significativa.
Obs | IMC | Kcal_d | Corr_s | Cha_Sol |
1 | 28 | 2500 | 1 | 20 |
2 | 19 | 2100 | 34 | 19 |
3 | 22 | 2300 | 12 | 18 |
4 | 29 | 2600 | 22 | |
5 | 20 | 2200 | 17 | 25 |
6 | 18 | 2100 | 32 | 25 |
7 | 29 | 2780 | 0,5 | 28 |
8 | 31 | 2890 | 1 | 27 |
9 | 20 | 2000 | 10 | 25 |
Media= | 13,4375 | |||
Desvio= | 13,47335 | |||
CV%= | 100,2668 | |||
Tamanho Otimo | ||||
da Amostra: | ||||
Pop. Infinita = | 401,7877 | |||
Pop. Finita= | 23,53557 |
Fotos do Calculo do Tamanho Ótimo de Amostra:
Nenhum comentário:
Postar um comentário